怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式

杨氏不等式：

对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q

Holder不等式证明如下：

令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)

,i=1,2,...n,只需证明:

x1y1+x2y2+...+xnyn≤1

而根据杨氏不等式

x1y1+x2y2+..+xnyn

≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)

=1/p+1/q

=1

这就完成了证明

顺便说明

等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即

ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)

即对任意i,j,i≠j,有

(ai/aj)^p=(bi/bj)^q

当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件