LeetCode 292. Nim游戏

简单题， 巴什博弈 。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

对于巴什博弈，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？

（n-1）%（m+1）==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势， (a，b)，怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

指的是这样的一个博弈游戏，目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：

1)每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；

2)如果谁取到最后一枚石子就胜。

判断当前局势是否为必胜（必败）局势：

把所有堆的石子数目用二进制数表示出来，当 全部这些数按位异或 结果为0时当前局面为必败局面，否则为必胜局面；

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

这个游戏叫做斐波那契博弈，肯定和 斐波那契数列 ： 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测： 先手胜当且仅当n不是斐波那契数。换句话说，必败态构成斐波那契数列。