4、有两个杯子，甲盛水、乙盛果汁，甲杯的水是乙杯果汁的2倍。先将甲杯的水倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一

不知道你五次是怎么算的，是甲倒入乙算一次还是甲倒入乙，再从乙倒入甲算一次。下面按后者算，简称为偶数次情况，前者比较简单，自己类推。

甲杯是乙杯的2倍，而且每次倒都是使另一者加倍，因此将水，果汁分开看，还是比较简单的，画个示意图给你看下。

用a，b，c，d分别表示甲水，甲果汁，乙水，乙果汁

那么甲倒入乙，有：a(n+1)=1/2an

b(n+1)=1/2bn

c(n+1)=a（n+1）+cn

d(n+1)=b(n+1)+dn

乙倒入甲，有：c(n+2)=1/2c(n+1)

d(n+2)=1/2d(n+1)

a(n+2)=a(n+1)+c(n+2)

b(n+2)=b(n+1)+d(n+2)

联立上面的8个，可以得到：a（n+2）=3/4an+1/2cn

b（n+2）=3/4bn+1/2dn

c（n+2）=1/2cn+1/4an

d（n+2）=1/2dn+1/4bn

n=2kk∈N我前面所说的次数的区别了就体现在这里

要求的是最后乙杯里果汁占果汁水，所以只看b，d两类，其它有兴趣自己研究

对于任何情况，有bn+dn=1/2（an+cn）=常数C就是水是果汁的两倍

对于偶数次情况，有cn+dn=1/2（an+bn）=常数C就是甲杯的量是乙杯的两倍，C也相当于刚开始乙杯的量。

d（n+2）=1/2dn+1/4bn

=1/4dn+1/4dn+1/4bn

=1/4dn+1/4C

=1/4（dn+C）

于是有d（n+2）-1/3C=1/4(dn-1/3C)

d(n+2)-1/3C是公比为1/4的等比数列，可求得

d(n)-1/3C=（d0-1/3C）*（1/4）^(n)因为是从d0开始的，所以指数为n而不是n-1，为了下文的美观

d0=C于是有

d(n)=1/3C+2/3C*（1/4）^(n)n∈N

乙杯里果汁占果汁水的？我也不清楚你要求什么，按照乙杯里果汁占乙杯总液体量来求，设为X，

即X=d（n）/（d（n）+c（n））

=d（n）/C

令n=5可得X=513/1536

也可以从式子中看出是趋于混合均匀的1/3的

lim（n→∞）X=1/3

当然有简单的方法，发现讲得太详细了太长了。。。捂脸闪人~~~