叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界

闭区间套定理：

设闭区间{[a_n，b_n]}满足：[a_n，b_n]?[a_n+1，b_n+1]（n∈N₊），

lim

n→∞

(bn?an)＝0，

则存在唯一的ξ，使ξ∈[a_n，b_n]（n∈N₊）且

lim

n→∞

an＝

lim

n→∞

bn＝ξ．

设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．

反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，

则存在一子区间[a₁，b₁]，使f在[a₁，b₁]无界，

再二等分[a₁，b₁]，则同样可以得到一个子区间[a₂，b₂]，使f在[a₂，b₂]上无界，

如此无限下去得到一闭区间套{[a_n，b_n]}，f在任意[a_n，b_n]无界．

显然，bn?an＝

b?a

2n

→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[a_n，b_n]（n∈N₊）．

由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，

而n充分大时，[a_n，b_n]?U（ξ，δ），

这与f在[a_n，b_n]上无界矛盾．